Transformasi Geometri

-->

Transformasi Geometri

Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada suatu bidang. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membahas tentang perubahan (letak,bentuk , penyajian) yang didasarkan dengan gambar dan matriks.

Transformasi pada bidang terdiri dari 4 macam :

• Pergeseran (Translasi)

Translasi adalah suatu pergerakan/perpindahan semua titik dari objek pada suatu jalur lurus sehingga menempati posisi baru. Jalur yang direpresentasikan oleh vektor disebut Translasi atau Vektor Geser. Pergeseran tersebut dapat ditulis : 

 

-->Untuk merepresentasikan translasi dalam matriks 3×3 kita dapat menulisnya :

--> Sifat:

• Dua buah translasi berturut-turut [a ]diteruskan dengan
                                                [ b ]
  dapat digantikan dengan [c] translasi tunggal [ a + c]
                                   [ d ]                      [ b + d]
• Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

• Pencerminan (Refleksi)

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.

 

-->

1. Jarak titik kecermin sama dengan jarak titik bayangannya kecermin.
2. Suatu bangun yang direfleksikan akan kongruen dengan bayangannya.
3. Sudut-sudut yang dihasilkan oleh cermin dengan garis penghubung setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku
4. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
5. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
1. Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
2. Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
6. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
7. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
1. Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
2. Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
3. Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

• Perputaran (Rotasi)

Rotasi adalah mereposisi semua titik dari objek sepanjang jalur lingkaran dengan pusatnya pada titik pivot.

-->

Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan matriks:

 

-->

Dimana :
- sin(θ) dan cos(θ) adalah fungsi linier dari θ,
- x’ kombinasi linier dari x dan y
– y’ kombinasi linier dari x and y

Arah rotasi disepakati dengan aturan sebagai berikut :

• Jika perputaran berlawanan dengan arah putar jarum jam, maka rotasi ini bernilai positif (+).
• Jika perputaran searah jarum jam, maka rotasi ini bernilai negatif (-).

SIFAT-SIFAT

1. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
2. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
   
   Catatan:
   
   Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

• Perkalian (Dilatasi)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Perkalian atau dilatasi ini ditentukan oleh factor skala (k) dan pusat dilatasi.

-->

 . Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.

• Jika k > 1 atau k < -1, maka hasil dilatasinya diperbesar

• Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil

• Jika k = ± 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan

-->